ЕГЭ 2020. Как писать ОДЗ

Математика ЕГЭ 2020: ОДЗ
Обновлено:

Никаких новых требований нет, но лишний раз не помешает вспомнить о требованиях, предъявляемых к оформлению ОДЗ в экзаменационных работах.

Определение и понятие ОДЗ

Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) - это множество значений переменной, при которых это выражение определено.

ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл.

НО ОО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДЛЯ ВЫРАЖЕНИЙ, А ОДЗ – ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ИЛИ НЕРАВЕНСТВ

При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл.

Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f(x).

Равносильность уравнений

Тождественные преобразования, при которых ОДЗ не изменятся.

Решение уравнений и неравенств с обязательным нахождением ОДЗ является важной задачей, так как эти уравнения, неравенства и функции тесно связаны с поиском и множества допустимых значений выражений, не нарушающих определенные правила математики.

Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на теоремах о равносильности и сформулированы в учебниках.

Определение:

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными)

Если все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения (множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго уравнения), то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Обозначение:f(x) = g(x) = > h (x) = φ(x)

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Первые три теоремы гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий их использование.

Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение, которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения;

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение, равносильное данному в его ОДЗ.

...

Следующие теоремы работают при определённых условиях. Прежде, чем решать уравнения необходимо учитывать область определения уравнения или ОДЗ переменных, при которых одновременно имеют смысл выражения.

...

На каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него, если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения. , .

Что такое ОДЗ на примерах

Учащиеся, имеющие какое-либо отношение к алгебре, слышат словосочетание "область допустимых значений" или довольно часто встречают в записях аббревиатуру ОДЗ, которые встречаются в описаниях решений уравнений, неравенств, задач практической направленности, ну, конечно же, и в системах уравнений и неравенств.

Отсутствие навыков решения уравнений и неравенств у учащихся, в которых нужно находить ОДЗ, мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике

Помним, что область допустимых значений - это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл..

Не путайте область допустимых значений переменной и область значений функции.

Область допустимых значений функции нельзя путать с областью значений функции. Если первое – это все значения х, при которых уравнение или неравенство может быть решено, то второе – все значения функции

ОДЗ часто используют применительно к уравнениям, неравенствам, системам и разберем примеры, которые наглядно показывают, что такое ОДЗ

Решение первой части ЕГЭ

1.Решим уравнение

А) с четными показателями корней:

...

Теперь решаем квадратное уравнение, используя теорему Виета, получим корни, которые проверим на вхождении в ОДЗ:

x = 3; ⇔ Х= 3 – входит в ОДЗ

x = −1; ⇔ Х= −1 не входит в ОДЗ

Ответ: 3

Б) с нечетными показателями корней:

...

х = - 3; х = -1

ОДЗ: R/ x=-3;-1 или R / {-3; -1}, или (-∞; -3)U(-3;-1)U(-1;+ ∞)

2. Рассмотрим функцию Y= √x. ОДЗ. Х≥ 0;

ОЗФ. y≥0

3. Найдем ОДЗ выражений

А) 6/ 3+Х ОДЗ. 3+Х ≠ 0 <=> Х≠ -3 . Можно записать: Х∈ (∞; -3) U( -3; + ∞)

Б) х/ у+z ОДЗ. Х∈(-∞; +∞); у≠ -z

В школьном курсе изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ

...

1.Область определения функции, в которой есть дробь

...

Пример 1

...

Пример 2

...

2. Область определения функции, в которой есть корень

Пример 3 № 520487

...

Пример 4. № 525130

...

3. Тригонометрические функции

Пример 5. № 103519

...

Значению k=1 соответствует x=-1. Значениям k≥2 соответствуют положительные значения корней, значениям k≤0 соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1

Ответ: −1

Пример 6. № 13373

,

...

где n — целое число. Значениям n≥1 соответствуют положительные корни.

Если n=0, то x=0 и x= -0,25

Если n= -1, то x= -1,5 и x= -1,75.

Значениям n≤-2 соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число -0,25

Ответ: −0,25

4. Логарифмические уравнения.

...

...

0 < a < 1 и a >1

1. X ϵ R; Область определения функции (ООФ): D(y) = R

2. y > 0; Область допустимых значений функции (ОДЗ): E(y) = R+

Когда решаете задания первой части, то обязательно обращайте внимание на ОДЗ, отрабатывайте навык.

Примеры решений смотрим в видео.

Нужно ли писать ОДЗ в ЕГЭ?

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос: находить ли ОДЗ? Часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет», или:

- «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни;

- «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств;

- В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие.

Все три варианта ответов имеют место быть.

Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения, но при записи ответа надо учесть все возможные ограничения или сделать проверку.

И как же быть: писать или не писать ОДЗ?

- если привыкли использовать ОДЗ — используйте, то ПИШИТЕ ЕГО ПОЛНОСТЬЮ;

- если умеете работать с равносильными переходами — это самый безопасный вариант. Но писанины будет много, т.к. необходимо пояснять все переходы.

КАКИХ ФОРМУЛ НЕТ В УЧЕБНИКАХ - ИХ НАДО ВЫВОДИТЬ.

- если не устраивают предыдущие два пункта, то озаглавьте ОДЗ словом «ограничения» или вообще никак не называйте. Это безопасно, даже если забудете какое-то важное условие.

Советую: находить ОДЗ и в конце решения обязательно проверять вхождение корней в ОДЗ.

Сами больше решайте, вырабатывайте навыки, научитесь видеть, не пользуйтесь готовыми формулами из «Решу ЕГЭ».

По какому пути решения идти – дело ваше. Всё зависит от того, какой навык решения вы имеете. Чаще всего, отсутствие навыков решения уравнений и неравенств у учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике.

Экзамены — неотъемлемая часть современной жизни, через них проходили все. Успехов и удачи в подготовке к экзаменам и при сдаче экзаменов!

Решения 2 части и оформление заданий ЕГЭ по математике

Решения заданий второй части ЕГЭ 2020 с подробными решениями и нахождениями ОДЗ можно посмотреть в видео ролике на You Tube

Исторические факты формирования понятия ОДЗ

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно: в древневавилонских текстах (3000 - 2000 лет до нашей эры) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих уравнения второй степени, устанавливающих зависимость между переменными, не исключая ограничения.

...

В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III века) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых с помощью составления уравнений и чтобы обезопасить себя от решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой, Диофант обозначал неизвестные числа (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение, а в ответе писали только положительный корень 2, т.к. в те времена квадратные уравнения не решали.

Понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития и в работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место», то есть речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию), а изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) указывает на существование взаимной зависимости двух переменных величин.

В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона, однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек), но никак зависимость одной переменной от другой.

И. Бернулли (1718) дал первое определение функции, близкое к современному: «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной», где в основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой, а Л. Эйлера формулирует определение во «Введении в анализ бесконечных величин» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».

Н. И. Лобачевский - наш соотечественник, даёт близкое к современному определению понятие функции: «..Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется, а значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной»; немного ниже в этой же статье сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать, как бы данными вместе».

Вывод

- если пишите слова «ОДЗ», то выписывать нужно все условия, при которых имеются ограничения;

-если же сомневаетесь, что сможете правильно указать все условия, то напишите «Должны выполняться следующие условия», но выписываете как можно больше условий, т.е максимально приближая к ОДЗ;

- при решении первой части не требуется письменно находить ОДЗ или делать проверку, но СОВЕТУЮ находить ОДЗ или делать проверку ВСЕГДА для выражений, имеющих ограничения не только на области определения, но и на области значений. Вырабатывайте устойчивую привычку.

Примеры решений задач 2 части смотрим в видео.

Сдача экзаменов – неотъемлемая часть нашей жизни, которую надо пройти всем.

У вас еще есть время подготовиться и пройти этот отрезок жизни спокойно и достойно

Успехов и удачи в подготовке и на экзаменах.

Спасибо, что прочитали статью. Надеюсь, она была Вам интересна и полезна! Если у Вас остались какие-то вопросы, напишите, пожалуйста, в комментарии. Буду благодарна, если Вы поделитесь статьей с друзьями в социальных сетях или через мессенджеры

Спасибо за посещение моего блога. Выскажите, пожалуйста, своё мнение в комментариях.

Сделай репост – выиграй ноутбук!

Каждый месяц 1 числа iBook.pro разыгрывает подарки.

  • Нажми на одну из кнопок соц. сетей
  • Получи персональный купон
  • Выиграй ноутбук LENOVO или HP

Смотреть отзывы

LENOVO или HP от 40-50 т.р., 8-16ГБ DDR4, SSD, экран 15.6", Windows 10

2 комментария

  • Аватар комментатора Ольга Ольга
    Прочитала вашу статью с большим интересом, так как работаю педагогом.
    Ответить
    1. Аватар комментатора Екатерина Карпенко Екатерина Карпенко

      Спасибо, Ольга, за комментарий.

      Ответить

Добавить комментарий

Отправить комментарий Отменить

Сообщение